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-2019学年八年级数学上期中试卷

更新时间:2019-11-03 02:00:36作者:三水老师

2018-2019学年河南省南阳市邓州市八年级(上)期中数学试卷

一、选择题(每小题3分,共30分)请将唯一正确答案的序号涂在答题卡.

手机在线棋牌1.在下列实数中,无理数是(  )

手机在线棋牌A.π    B.    C.    D.

手机在线棋牌2.下列各式正确的是(  )

A.=±4    B.=±4    C.±=±4    D.=2

手机在线棋牌3.下列运算正确的是(  )

手机在线棋牌A.a12÷a3=a4    B.(a3)4=a12    

C.(﹣2a2)3=8a5    D.(a﹣2)2=a2﹣4

4.若(x﹣1)(x2+mx+n)的积中不含x的二次项和一次项,则m,n的值为(  )

A.m=2,n=1    B.m=﹣2,n=1    C.m=﹣1,n=1    D.m=1,n=1

手机在线棋牌5.若2x﹣3y+z﹣2=0,则16x÷82y×4z的值为(  )

A.16    B.﹣16    C.8    D.4

6.现规定一种运算:a※b=ab+a﹣b,其中a,b为实数,则※等于(  )

手机在线棋牌A.﹣6    B.﹣2    C.2    D.6

7.多项式①4x2﹣x;②(x﹣1)2﹣4(x﹣1);③1﹣x2;④﹣4x2﹣1+4x,分解因式后,结果中含有相同因式的是(  )

手机在线棋牌A.①和②    B.③和④    C.①和④    D.②和③

手机在线棋牌8.如图,△ABC≌△ADE,∠DAC=70°,∠BAE=100°,BC、DE相交于点F,则∠DFB度数是(  )

A.15°    B.20°    C.25°    D.30°

手机在线棋牌9.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=4,AE=6,则CH的长为(  )

手机在线棋牌A.1    B.2    C.3    D.4

10.用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形,已知大正方形的面积是144,小正方形的面积是4,若用a,b分别表示矩形的长和宽(a>b),则下列关系中不正确的是(  )

手机在线棋牌A.a+b=12    B.a﹣b=2    C.ab=35    D.a2+b2=84

手机在线棋牌二、填空题(每小题3分,共15分)

11.的平方根为     .

12.若(a+5)2+=0,则a2018?b2019=     .

13.计算:20132﹣2014×2012=     .

14.如图,AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S=     .

15.观察下列式子:

22﹣1=3;32﹣22=5;42﹣32=7;52﹣42=9…设n为正整数,用含n的等式表示你发现的规律

三、解答题.(共75分)

手机在线棋牌16.(10分)计算或解答

手机在线棋牌(1)﹣+|1﹣|﹣(2+)

手机在线棋牌(2)一个数的算术平方根为2m﹣6,它的平方根为±(2﹣m),求这个数.

17.(8分)分解因式.

(1)4x3y﹣4x2y2+xy3

手机在线棋牌(2)m3(x﹣2)+m(2﹣x)

18.(10分)(1)计算:[(ab+1)(ab﹣2)﹣(2ab)2+2]÷(﹣ab)

(2)先化简,再求值:(x+2)2+(2x+1)(2x﹣1)﹣4x(x+1),其中x=﹣.

19.(9分)已知,a+b=3,ab=﹣2,求下列各式的值:

(1)(a﹣1)(b﹣1)

(2)a2+b2

(3)a﹣b

手机在线棋牌20.(7分)如图,已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE,求证:AB∥CD.

21.(10分)(1)化简:(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2;

(2)利用(1)题的结论,且a=2015x+2016,b=2015x+2017,c=2015x+2018,求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值.

22.(10分)如图,已知△ABC中,∠B=∠C,AB=12厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运B动设运动时间为t(秒)(0≤t≤4).

手机在线棋牌(1)若点P点Q的运动速度相等经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;

(2)若点P点Q的运动速度不相等,当点Q的速度是多少时,能够使△BPD与△CQP全等?

23.(11分)CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.

(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:

①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE     CF;(填“>”,“<”或“=”);EF,BE,AF三条线段的数量关系是:     .

②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件     ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.

手机在线棋牌(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想并证明.

2018-2019学年河南省南阳市邓州市八年级(上)期中数学试卷

参考答案与试题解析

手机在线棋牌一、选择题(每小题3分,共30分)请将唯一正确答案的序号涂在答题卡.

1.在下列实数中,无理数是(  )

手机在线棋牌A.π    B.    C.    D.

【分析】根据无理数的定义逐个分析.

【解答】解:A、π是无限不循环小数,即为无理数;

B、是无限循环小数,即为有理数;

手机在线棋牌C、=3,即为有理数;

D、=4,即为有理数.

故选:A.

【点评】此题主要考查了无理数的定义,注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如π,,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式.

手机在线棋牌2.下列各式正确的是(  )

手机在线棋牌A.=±4    B.=±4    C.±=±4    D.=2

【分析】根据算术平方根,平方根和立方根的定义逐一计算可得.

手机在线棋牌【解答】解:A.=4,此选项错误;

B.=4,此选项错误;

C.±=±4,此选项正确;

D.≠2,=2,此选项错误;

故选:C.

【点评】本题主要考查平方根与立方根,解题的关键是掌握平方根和算术平方根及立方根的定义.

3.下列运算正确的是(  )

A.a12÷a3=a4    B.(a3)4=a12    

手机在线棋牌C.(﹣2a2)3=8a5    D.(a﹣2)2=a2﹣4

【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方及完全平方公式逐一计算可得.

【解答】解:A、a12÷a3=a9,此选项错误;

B、(a3)4=a12,此选项正确;

C、(﹣2a2)3=﹣8a6,此选项错误;

D、(a﹣2)2=a2﹣4a+4,此选项错误;

故选:B.

【点评】本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方及完全平方公式.

4.若(x﹣1)(x2+mx+n)的积中不含x的二次项和一次项,则m,n的值为(  )

手机在线棋牌A.m=2,n=1    B.m=﹣2,n=1    C.m=﹣1,n=1    D.m=1,n=1

手机在线棋牌【分析】直接利用多项式乘法运算法则去括号,进而得出关于m,n的等式,进而得出答案.

【解答】解:∵(x﹣1)(x2+mx+n)的积中不含x的二次项和一次项,

∴(x﹣1)(x2+mx+n)

=x3+mx2+nx﹣x2﹣mx﹣n

=x3+(m﹣1)x2﹣(m﹣n)x﹣n,

∴,

解得m=1,n=1,

故选:D.

【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式,正确得出含x的二次项和一次项的系数是解题关键.

5.若2x﹣3y+z﹣2=0,则16x÷82y×4z的值为(  )

A.16    B.﹣16    C.8    D.4

【分析】根据题意求出2x+3y﹣z,根据同底数幂的乘除法法则计算即可.

【解答】解:∵2x﹣3y+z﹣2=0,

手机在线棋牌∴2x﹣3y+z=2,

则原式=(24)x÷(23)2y×(22)z

=24x÷26y×22z

=22(2x﹣3y+z)

=24

=16,

故选:A.

手机在线棋牌【点评】本题考查的是同底数幂的除法运算、幂的乘方,掌握同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减是解题的关键.

6.现规定一种运算:a※b=ab+a﹣b,其中a,b为实数,则※等于(  )

A.﹣6    B.﹣2    C.2    D.6

手机在线棋牌【分析】先计算=4,=﹣2,再依据新定义规定的运算a※b=ab+a﹣b计算可得.

【解答】解:※

=4※(﹣2)

=4×(﹣2)+4﹣(﹣2)

=﹣8+4+2

=﹣2,

故选:B.

手机在线棋牌【点评】此题考查了实数的混合运算,属于新定义题型,弄清题意的新定义与实数的运算顺序和运算法则是解本题的关键.

手机在线棋牌7.多项式①4x2﹣x;②(x﹣1)2﹣4(x﹣1);③1﹣x2;④﹣4x2﹣1+4x,分解因式后,结果中含有相同因式的是(  )

A.①和②    B.③和④    C.①和④    D.②和③

【分析】根据提公因式法和完全平方公式把各选项的多项式分解因式,然后再找出结果中含有相同因式的即可.

手机在线棋牌【解答】解:①4x2﹣x=x(4x﹣1);

手机在线棋牌②(x﹣1)2﹣4(x﹣1)=(x﹣1)(x﹣1﹣4)=(x﹣1)(x﹣5);

③1﹣x2=(1﹣x)(1+x)=﹣(x﹣1)(x+1);

④﹣4x2﹣1+4x=﹣(4x2﹣4x+1)=﹣(2x﹣1)2,

∴②和③有相同因式为x﹣1,

故选:D.

【点评】本题主要考查提公因式分解因式和利用完全平方公式分解因式,熟练掌握公式结构是求解的关键.

手机在线棋牌8.如图,△ABC≌△ADE,∠DAC=70°,∠BAE=100°,BC、DE相交于点F,则∠DFB度数是(  )

A.15°    B.20°    C.25°    D.30°

【分析】先根据全等三角形对应角相等求出∠B=∠D,∠BAC=∠DAE,所以∠BAD=∠CAE,然后求出∠BAD的度数,再根据△ABG和△FDG的内角和都等于180°,所以∠DFB=∠BAD.

手机在线棋牌【解答】解:∵△ABC≌△ADE,

∴∠B=∠D,∠BAC=∠DAE,

手机在线棋牌又∠BAD=∠BAC﹣∠CAD,∠CAE=∠DAE﹣∠CAD,

∴∠BAD=∠CAE,

∵∠DAC=70°,∠BAE=100°,

手机在线棋牌∴∠BAD=(∠BAE﹣∠DAC)=(100°﹣70°)=15°,

在△ABG和△FDG中,∵∠B=∠D,∠AGB=∠FGD,

∴∠DFB=∠BAD=15°.

故选:A.

【点评】本题主要利用全等三角形对应角相等的性质,解题时注意:全等三角形的对应边相等,对应角相等.

手机在线棋牌9.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=4,AE=6,则CH的长为(  )

A.1    B.2    C.3    D.4

【分析】先利用等角的余角相等得到∠BAD=∠BCE,则可根据“AAS”证明△BCE≌△HAE,则CE=AE=6,然后计算CE﹣HE即可.

【解答】解:∵AD⊥BC,CE⊥AB,

手机在线棋牌∴∠BEC=∠ADB=90°,

∵∠BAD+∠B=90°,∠BCE+∠B=90°,

∴∠BAD=∠BCE,

在△BCE和△HAE中

,

手机在线棋牌∴△BCE≌△HAE,

∴CE=AE=6,

手机在线棋牌∴CH=CE﹣HE=6﹣4=2.

故选:B.

手机在线棋牌【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质:全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.

手机在线棋牌10.用四个全等的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形,已知大正方形的面积是144,小正方形的面积是4,若用a,b分别表示矩形的长和宽(a>b),则下列关系中不正确的是(  )

手机在线棋牌A.a+b=12    B.a﹣b=2    C.ab=35    D.a2+b2=84

【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长,再根据其边长分别列方程,根据4个矩形的面积和等于两个正方形的面积的差列方程.

【解答】解:A、根据大正方形的面积求得该正方形的边长是12,则a+b=12,故A选项正确;

手机在线棋牌B、根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是2,则a﹣b=2,故B选项正确;

C、根据4个矩形的面积和等于大正方形的面积减去小正方形的面积,即4ab=144﹣4=140,ab=35,故C选项正确;

D、(a+b)2=a2+b2+2ab=144,所以a2+b2=144﹣2×35=144﹣70=74,故D选项错误.

故选:D.

手机在线棋牌【点评】此题关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析,运用排除法进行选择.

手机在线棋牌二、填空题(每小题3分,共15分)

手机在线棋牌11.的平方根为 ±3 .

【分析】根据平方根的定义即可得出答案.

【解答】解:8l的平方根为±3.

故答案为:±3.

手机在线棋牌【点评】此题考查了平方根的知识,属于基础题,掌握定义是关键.

12.若(a+5)2+=0,则a2018?b2019= 15 .

手机在线棋牌【分析】直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出a,b的值,进而利用积的乘方运算法则计算得出答案.

【解答】解:∵(a+5)2+=0,

∴a+5=0,5b=1,

故a=﹣5,b=,

手机在线棋牌则a2018?b2019=(ab)2018×b=1×=.

故答案为:.

手机在线棋牌【点评】此题主要考查了非负数的性质以及积的乘方运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.

13.计算:20132﹣2014×2012= 1 .

【分析】把2014×2012化成(2013+1)×(2013﹣1),根据平方差公式展开,再合并即可.

手机在线棋牌【解答】解:原式=20132﹣(2013+1)×(2013﹣1)

=20132﹣20132+12

=1,

故答案为:1.

手机在线棋牌【点评】本题考查了平方差公式的应用,注意:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.

14.如图,AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S= 50 .

【分析】求出∠F=∠AGB=∠EAB=90°,∠FEA=∠BAG,根据AAS证△FEA≌△GAB,推出AG=EF=6,AF=BG=2,同理CG=DH=4,BG=CH=2,求出FH=14,根据阴影部分的面积=S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC和面积公式代入求出即可.

【解答】解:∵AE⊥AB,EF⊥AF,BG⊥AG,

∴∠F=∠AGB=∠EAB=90°,

∴∠FEA+∠EAF=90°,∠EAF+∠BAG=90°,

∴∠FEA=∠BAG,

手机在线棋牌在△FEA和△GAB中

∵,

∴△FEA≌△GAB(AAS),

手机在线棋牌∴AG=EF=6,AF=BG=2,

手机在线棋牌同理CG=DH=4,BG=CH=2,

∴FH=2+6+4+2=14,

手机在线棋牌∴梯形EFHD的面积是×(EF+DH)×FH=×(6+4)×14=70,

手机在线棋牌∴阴影部分的面积是S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC

=70﹣×6×2﹣×(6+4)×2﹣×4×2

=50.

故答案为50.

【点评】本题考查了三角形的面积,梯形的面积,全等三角形的性质和判定等知识点,关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积.

15.观察下列式子:

22﹣1=3;32﹣22=5;42﹣32=7;52﹣42=9…设n为正整数,用含n的等式表示你发现的规律 (n+1)2﹣n2=2n+1 

【分析】根据已知等式得出序数加1与序数的平方差等于序数的2倍与1的和,据此可得.

手机在线棋牌【解答】解:∵第1个式子为(1+1)2﹣12=2×1+1,

手机在线棋牌第2个式子为(2+1)2﹣22=2×2+1,

第3个式子为(3+1)2﹣32=2×3+1,

第4个式子为(4+1)2﹣42=2×4+1,

手机在线棋牌∴第n个式子为(n+1)2﹣n2=2n+1,

故答案为:(n+1)2﹣n2=2n+1.

手机在线棋牌【点评】本题主要考查数字的变化类,解题的关键是将已知等式与序数联系起来,得出普遍规律.

手机在线棋牌三、解答题.(共75分)

手机在线棋牌16.(10分)计算或解答

手机在线棋牌(1)﹣+|1﹣|﹣(2+)

手机在线棋牌(2)一个数的算术平方根为2m﹣6,它的平方根为±(2﹣m),求这个数.

【分析】(1)首先利用算术平方根以及立方根和绝对值的性质分别化简得出答案;

(2)利用算术平方根以及平方根的定义得出m的值进而得出答案.

【解答】解:(1)原式=6+3+2﹣1﹣2﹣2

=6;

手机在线棋牌(2)由题意得:2m﹣6≥0,

手机在线棋牌∴m≥3,∴m﹣2>0,

因此2m﹣6=﹣(2﹣m),

手机在线棋牌∴m=4,所以这个数是(2m﹣6)2=4.

【点评】此题主要考查了实数运算,正确把握相关定义是解题关键.

手机在线棋牌17.(8分)分解因式.

手机在线棋牌(1)4x3y﹣4x2y2+xy3

(2)m3(x﹣2)+m(2﹣x)

手机在线棋牌【分析】(1)多项式共3项且有公因式,应先提取公因式,再考虑用完全平方公式分解;

(2)多项式变形为m3(x﹣2)﹣m(x﹣2),先提取公因式,再考虑用平方差公式分解.

【解答】解:(1)原式=xy(4x2﹣4xy+y2)

=xy(2x﹣y)2

(2)原式=m3(x﹣2)﹣m(x﹣2)

手机在线棋牌=m(x﹣2)(m2﹣1)

手机在线棋牌=m(x﹣2)(m+1)(m﹣1)

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,一般来说,多项式若有公因式先提取公因式,再考虑运用公式法分解.

手机在线棋牌18.(10分)(1)计算:[(ab+1)(ab﹣2)﹣(2ab)2+2]÷(﹣ab)

手机在线棋牌(2)先化简,再求值:(x+2)2+(2x+1)(2x﹣1)﹣4x(x+1),其中x=﹣.

【分析】(1)先算括号内的乘法,再合并同类项,最后算除法即可;

手机在线棋牌(2)先算乘法,再合并同类项,最后代入求出即可.

手机在线棋牌【解答】解:(1)原式=(a2b2﹣ab﹣2﹣4a2b2+2)÷(﹣ab)

手机在线棋牌=(﹣3a2b2﹣ab)÷(﹣ab)

=3ab+1;

(2)解:原式=x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x

=x2+3,

手机在线棋牌当x=﹣2时,原式=(﹣2)2+3=5.

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值,能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键.

19.(9分)已知,a+b=3,ab=﹣2,求下列各式的值:

(1)(a﹣1)(b﹣1)

(2)a2+b2

(3)a﹣b

手机在线棋牌【分析】(1)把式子展开,整体代入求出结果;

(2)利用完全平方公式,把a2+b2变形为(a+b)2﹣2ab,整体代入求出结果;

(3)根据已知和(2)的结果,先求出(a﹣b)2的值,再求它的平方根.

【解答】解:(1)原式=ab﹣a﹣b+1

手机在线棋牌=ab﹣(a+b)+1

=﹣2﹣3+1

=﹣4

(2)原式=(a+b)2﹣2ab

=9+4

=13

(3)∵(a﹣b)2

=a2+b2﹣2ab

=13+4

=17

∴a﹣b=±.

【点评】本题考查了整体代入和完全平方公式的变形.解决本题的关键是利用转化的思想.

手机在线棋牌20.(7分)如图,已知AB=CD,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,BF=DE,求证:AB∥CD.

手机在线棋牌【分析】根据全等三角形的判定与性质,可得∠B=∠D,根据平行线的判定,可得答案.

【解答】证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,

∴∠AEB=∠CFD=90°,

∵BF=DE,

∴BF+EF=DE+EF,

∴BE=DF.

在Rt△AEB和Rt△CFD中,

,

∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL),

∴∠B=∠D,

∴AB∥CD.

手机在线棋牌【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,利用等式的性质得出BE=DF是解题关键,又利用了全等三角形的判定与性质.

21.(10分)(1)化简:(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2;

(2)利用(1)题的结论,且a=2015x+2016,b=2015x+2017,c=2015x+2018,求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值.

【分析】(1)根据整式的混合运算的法则化简后,代入求值即可;

(2)原式变形后,利用完全平方公式配方后,将已知等式代入计算即可求出值.

【解答】(1)解:原式=a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+c2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc;

(2)解:原式=(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc)= [(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2]

手机在线棋牌当a=2015x+2016,b=2015x+2017,c=2015x+2018,

手机在线棋牌∴原式=×[(﹣1)2+(﹣1)2+22]=3.

【点评】此题考查了因式分解的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

22.(10分)如图,已知△ABC中,∠B=∠C,AB=12厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运B动设运动时间为t(秒)(0≤t≤4).

(1)若点P点Q的运动速度相等经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;

(2)若点P点Q的运动速度不相等,当点Q的速度是多少时,能够使△BPD与△CQP全等?

手机在线棋牌【分析】(1)依据点P点Q的运动速度相等,经过1秒,运用SAS即可得到△BPD和△CQP全等;

(2)依据BP≠CQ,△BPD≌△CQP,可得BP=CP=4,进而得出t=2,a=3,即可得到当点Q的速度是3厘米/秒时,能够使△BPD与△CQP全等.

手机在线棋牌【解答】解:(1)△BPD和△CQP全等

理由:∵t=1秒,

∴BP=CQ=2,

∴CP=8﹣BP=6,

∵AB=12,

∴BD=12×=6,

∴BD=CP,

又∠B=∠C,

∴△BPD≌△CQP(SAS);

(2)∵BP≠CQ,△BPD≌△CQP,

∴BP=CP=4,

∴t=2,

∴BD=CQ=at=2a=6,

∴a=3,

∴当点Q的速度是3厘米/秒时,能够使△BPD与△CQP全等.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定,解一元一次方程的应用,能求出△BPD≌△CQP是解此题的关键,注意:全等三角形的对应边相等,对应角相等.

手机在线棋牌23.(11分)CD经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB.E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.

(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:

①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BE = CF;(填“>”,“<”或“=”);EF,BE,AF三条线段的数量关系是: EF=|BE﹣AF| .

手机在线棋牌②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ∠α+∠ACB=180°. ,使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.

(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想并证明.

【分析】(1)①求出∠BEC=∠AFC=90°,∠CBE=∠ACF,根据AAS证△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可;

②求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF,根据AAS证△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可;

(2)求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF,根据AAS证△BCE≌△CAF,推出BE=CF,CE=AF即可.

手机在线棋牌【解答】解:(1)①如图1中,

E点在F点的左侧,

∵BE⊥CD,AF⊥CD,∠ACB=90°,

∴∠BEC=∠AFC=90°,

手机在线棋牌∴∠BCE+∠ACF=90°,∠CBE+∠BCE=90°,

∴∠CBE=∠ACF,

在△BCE和△CAF中,

,

∴△BCE≌△CAF(AAS),

∴BE=CF,CE=AF,

∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF,

当E在F的右侧时,同理可证EF=AF﹣BE,

手机在线棋牌∴EF=|BE﹣AF|;

手机在线棋牌故答案为=,EF=|BE﹣AF|.

手机在线棋牌②∠α+∠ACB=180°时,①中两个结论仍然成立;

证明:如图2中,

∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠α+∠ACB=180°,

∴∠CBE=∠ACF,

在△BCE和△CAF中,

,

手机在线棋牌∴△BCE≌△CAF(AAS),

手机在线棋牌∴BE=CF,CE=AF,

∴EF=CF﹣CE=BE﹣AF,

手机在线棋牌当E在F的右侧时,同理可证EF=AF﹣BE,

手机在线棋牌∴EF=|BE﹣AF|;

手机在线棋牌故答案为∠α+∠ACB=180°.

(2)结论:EF=BE+AF.

理由:如图3中,

∵∠BEC=∠CFA=∠a,∠a=∠BCA,

手机在线棋牌又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°,∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°,

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF,

手机在线棋牌∴∠EBC=∠ACF,

手机在线棋牌在△BEC和△CFA中,

,

手机在线棋牌∴△BEC≌△CFA(AAS),

∴AF=CE,BE=CF,

∵EF=CE+CF,

∴EF=BE+AF.

【点评】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质,注意这类题目图形发生变化,结论基本不变,证明方法完全类似,属于中考常考题型.

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